Macam Macam Bilangan (KALKULUS)

 

* RESUME Pertemuan 4 maret 2019 *

MACAM MACAM BILANGAN

1. BILANGAN ASLI

         Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. 

Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif). 

Contoh :

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

2. BILANGAN CACAH

            Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

3. Bilangan Negatif 

Bilangan Negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan. 

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

4. Bilangan bulat

Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :

{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

5. Bilangan prima

Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

6. Bilangan komposit

 Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Contoh :

{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

7. Bilangan kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajineratau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. 

Contoh :

{3 + 2i}

8. Bilangan imajiner

            Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

   x2 + 1 = 0

atau secara ekuivalen 
   x2 = -1

atau juga sering dituliskan sebagai
   x = √-1

9. Bilangan  real atau bilangan riil 

Bilangan Real menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. 

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

10. Bilangan  irrasional

Bilangan irrational merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π       =          3,141592653358…….. 

√2    =          1,4142135623……..

e      =          2,71828281284590…….

11. Bilangan rasional

Bilangan Rational adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

12. Bilangan pecahan

Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, bbilangan bulat dan b ≠ 0.

a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

13. Bilangan Desimal

Bilangan Desimal Yaitu bilangan yang dinyatakan dengan angka dibelakang koma.

Contoh : 5,7 8,9 0,9

14. Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil yaitu bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1.

Contoh: 3,5,7,9,11,13,15,…

15. Bilangan Genap

Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi 2.

Contoh: 4,6,8,10,12,…

PROFILE

NAMA       : A.A.Sagung Istri Puspitasari Wijayanti
NIM           : 201831011
JURUSAN : Teknik Informatika

ALAMAT VIDEO BLOG : YOUTUBE CHANNEL: Gungis 99

https://www.youtube.com/channel/UCWmMt_11djvZpsYmYLS8YDQ/videos?view_as=subscriber

TRANSFORMASI LINIER

TRANSFORMASI LINIER

Jika F : V >> W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W , maka F dinamakan Transformasi Linier jika ia memenuhi kedua syarat ini.

1. mengambil unsur sembarang di R^2

2. Buktikan bahwa syarat pertama terpenuhi

3.Buktikan bahwa syarat kedua terpenuhi

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l (lamda) sedemikian rupa sehingga,

Ax = lx

disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

1. Bentuk matrik (lI – A)

2. Hitung determinan, det(lI – A)=0

3. Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

4. Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

5. Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

1) Langkah 1

2) Langkah 2

3) Langkah 3

4) Langkah 4

5) Langkah 5

BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI

PENGERTIAN BASIS ADALAH 

suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya.

1.Kombinasi Linier  

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :                                                                    

x = k1u1+ k2u2 +… + knun dimana k1, k2,…,kn adalah skalar.

Langkah- langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 pilihan  kalian bisa menyelesaikannya dengan  eliminasi subtitusi atau menggunakan metode gauss dengan merubah spl ke dalam bentuk matriks.

2.Membangun Ruang Vektor

 Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V.

 x=[x1,x2,x3]T vektor di R3.

Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w”

Langkah- langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 pilihan  kalian bisa menyelesaikannya dengan syarat-syarat membangun ruang vektor atau menggunakan metode mengecek determinan matriks jika D tidak sama dengan 0 maka dia membangun ruang vektor. Jika sama dengan 0 maka dia tidak membangun ruang vektor.

3.Kebebasan Linier      

S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + … + knun = 0 

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier

 x=[x1,x2,x3]T vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w

Langka-Langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 opsi kalian bisa menyelesaikannya dengan syarat-syarat kebebasan linier atau menggunakan metode mengecek determinan matriks jika D tidak sama dengan 0 maka dia bebas linier. Jika sama dengan 0 maka dia tidak bebas linier

4.Subspace/Ruang Bagian

Misalkan W adalah subset dari sebuah ruang vektor V W dinamkan Subruang (subspace) V

Jika W dengan operasi yang sama dengan V juga membentuk ruang Vektor

Atau

W disebut subruang dari V jika memenuhi :

W tidak sama dengan {}

W himpunan bagian V

jika vektor u, vektor v elemen W maka vektor u+vektor v elemen W

Jika vektor u elemen W dan k elemen dari bilangan rill maka k.vektor u elemen W”

Langkah – langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. Buatlah permisalan  matriks (A dan B) dimana bentuknya menyerupai S

3.setelah itu jumlahkan matriks A dan B

4. cek apakah ketika A dan B ditambahkan hasilnya merupakan elemen dari S? Jika iya maka syarat pertama terpenuhi

4. selanjutnya ambil salah satu matriks kemudian kalikan dengan konstanta (k) 

5. Jika hasilnya merupakan elemen dari S maka syarat kedua terpenuhi dan S disebut dengan sub bagian dari R^2

SOAL

r1 = { 1,2,3 }

r2 = { 0,1,6/5 }

r3 = { 0,0,1 }

Bilangan utama 1 ada pada semua baris pada matriks U sehingga basis dari ruang baris adalah s = { r1,r2,r3 } dan dimensi ruang barisnya adalah 3