METODE ELIMINASI GOUSS JORDAN

Eliminasi Gauss-Jordan

Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

1.Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2.Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3.Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4.Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Misal kita punya matriks berikut:

METODE ELIMINASI GOUSS

METODE ELIMINASI GOUSS

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan operasi baris elementer ) seperti system persamaan berikut Ini

Maka solusiya dapat dihitung dengan tenik penyilangan mundur

METODE ADJOINT

Adjoin ialah nilai transpose dari kofaktor matriks.

Untuk lebih jelah perhatikan contoh berikut :

tentukan adjoin dari kofaktor berikut :

c11 =   4

c12 =  -2

c21 =  -3

c22 =   1

Jawab :

Kita ubah kofaktor di atas ke bentuk matrik menjadi :

 4  -2

-3   1

Kemudian kita transposekan menjadi :

 4  -3

-2   1

Contoh soal

METODE PARTISI

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Solusi :

Jadikan Z₁ menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z₂ matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A₁ merupakan aturan m × p dan A₂ merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai